Rozwiza r

ZADANIE
Rozwiąż równania w dziedzinie liczb zespolonych:
a) z^2-z+1
b) z^4-1=0



ROZWIĄZANIE
a) z^2-z+1
Jak widać, jest to równanie kwadratowe. Jego rozwiązań nie będziemy jednak szukać wyłącznie w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz rozszerzymy go do zbioru liczb zespolonych. Najpierw tradycyjnie liczymy Delta.Wzór na DeltęPrzykładowe zadanie Jak widać Obliczenia, więc w zbiorze liczb rzeczywistych to równanie nie ma rozwiązania.
Pamiętając, że rozwiązań szukamy w dziedzinie zespolonej (oraz, że Jednostak urojona) możemy zapisać:Rozwiązania zadańRozwiązania równania kwadratowego znajdujemy za pomocą znanych wzorów:

Pierwiastki równania kwadratowegoRozwiązania w dziedzinie zespolonej

zatem ostatecznie

Przykłady równańZadania z rozwiązaniami

ROZWIĄZANIE
b) z^4-1=0
Jest to równanie 4-tego stopnia, więc w dziedzinie liczb zespolonych będziemy mieli cztery rozwiązania. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, równanie to można zapisać w sposób:z^4-1=0liczby zespolonematematykastąd mamy, że:
Rozwiązania zadań lub Zadania na studiach lub z^2+1

czyli:

z=1lubz=-1lubzespolonej

Jak widać, dwa rozwiązania już mamy:z=1lubz=-1. Aby znaleźć kolejne dwa, musimy rozwiązać równanie , które nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczamy Delta.Wzór na DeltęUjemna delta w równaniuPamiętamy, że Jednostak urojona, zatem:oblicz równanieMiejsca zerowe tego równania znajdujemy ze znanych wzorów:

Pierwiastki równania kwadratowegoRozwiązania w dziedzinie zespolonej

czyli

Przykłady równańZadania z rozwiązaniami

Ostatecznie:

z=1lubz=-1lubjednostka urojonalubDziedzina zespolona