Pierwiastki liczby zespolonej

ZADANIE
Obliczyć wszystkie (różne) wartości pierwiastków oraz zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej:
a) liczba zespolona



ROZWIĄZANIE
a) liczba zespolona
Naszym zadaniem jest wyznaczenie wszystkich pierwiastków stopnia pierwiastki stopnia trzeciego z liczby zespolonej zespolone. Stopień pierwiastka wskazuje, że będzie ich dokładnie 3.
Każdy pierwiastek z liczby zespolonej wyraża się wzorem:wzór na pierwiastki liczby zespolonejprzy czym różne rozwiązania
Pierwszą czynnością jest przedstawienie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej. W tym celu obliczamy jej moduł:Modułoraz wyznaczamy wartość argumentu argument liczby zespolonej na podstawie cosinus oraz sinusWartość funkcji sinusZadania z rozwiązaniemZ tabeli poniżej widać, że dla takich wartości funkcji sinus i cosinus mamy, że argument równy PI/2
Wastość funkcji sinus i cosinusPostać trygonometryczna jest więc postaci:postać trygonometryczna liczby z=iPodstawiamy do wzoru i wyliczamy kolejne pierwiastki:
I) dla k=0
pierwiastek zespolonyII) dla k=1rozwiązaniaKorzystając ze wzorów redukcyjnych:wzory redukcyjnezadaniaobliczamyPrzykładymatematykaStąd mamy:Przykład rozwiązanyIII) dla k=2Zrobione zadaniaKorzystając ze wzorów redukcyjnych:wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznychstudiaobliczamy:argumentgłównyOstatnim pierwiastkiem danej liczby jest:urojone
z_3=\displaystyle -\cos\frac{\pi}{2}-i\cdot\sin\frac{\pi}{2}=-i